Задача 7. По вазам разложили 40 яблок и 40 персиков так, что во всех вазах оказалось поровну яблок, но в любых двух вазах — разное число персиков. Какое наибольшее число ваз могло быть использовано?

Решение.

Во все вазы поровну разложены 40 яблок. Значит, возможное количество ваз должно выбираться из чисел, на которые 40 делится без остатка:1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Известно также, что в каждой вазе должно быть разное число персиков. Попробуем разложить плоды в каждую вазу и понять, когда их станет больше 40. В первую вазу поместим 1 персик, во вторую — 2 персика, в третью — 3 персика и так далее: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Это превышает количество персиков, которое у нас имеется, поэтому разложить их в 9 ваз не получится.

Значит, нужно брать меньше слагаемых (и меньше ваз): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. Это меньше, чем 40. Значит, мы можем добавить недостающее количество персиков
(4 персика) в какую-нибудь вазу (например, последнюю): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 12 = 40. Всё сходится.

40 яблок разложили в 8 ваз поровну, т.е. по 5 яблок.

Ответ: 8 ваз.